爱因斯坦45狭义相对论第3部分洛伦兹变换
第三部分题为《从静系到另一个相对于它做匀速移动的坐标系的坐标和时间的变换理论》，这一部分是论文，也是狭义相对论的核心理论推导环节，推导出了著名的洛伦兹变换。
在这一部分，爱因斯坦首先设定静系k坐标轴为xyz，以其衡量的质点坐标值为xyz和对静系同步的时间t（同步方法为第一部分提出的同时性或同步性判定方法tb-ta=ta′-tb），动系k坐标轴为Ξhz，以其衡量的质点坐标值为eηζ和对动系同步的时间t。两个坐标系的x轴和Ξ轴重合，yz轴和hz轴平行，动系k坐标系相对于静系k坐标系以速度v沿x轴x值增加方向移动。
设静系k中一质点x′运动方程为：x′=x-vt（注：即动系坐标x′=静系坐标x-vt，或者静系坐标x-动系坐标x′=vt，这便是静系和动系参照系设定的条件，物理意义便是对动系来说静止的质点，对静系来说却以速度v运动），则质点相对于动系k来说为静止状态（注：即动系坐标x′随时间不变化，为定值），动系时间t为空间坐标和时间坐标值x′、y、z和t的函数。
做完上述设定后，爱因斯坦设计了思想实验，着重从动系k角度分析了动系时间t。设从动系k系的原点（此处设定静系和动系坐标系原点在静系时间t时，即动系时间t0时，重合）在动系时间t0发射一道光线，沿着x轴（Ξ轴）射向x′，在动系时间t1时从x′那里反射回动系k坐标系的原点，而在动系时间t2时到达，则有下列公式2：（t0+t2）/2=t1
（注：由于质点x′对动系k来说是静止的，所以从动系k角度衡量，公式2肯定成立。）
引入t为x′、y、z和t的函数的设定和光速不变原理，从静系考察可将公式2具化为公式3：
{t（0，0，0，t）+t[0，0，0，（t+x′/（v-u）+x′/（v+u））]}=t[x′，0，0，t+x′/（v+u）]
[注：t0为t（0，0，0，t），即动系时间t0从动系k衡量其空间坐标为0，0，0，时间为静系时间t，类似第二部分最后验证是否同时的公式1中的ta；
t2为t[0，0，0，（）（t+x′/（v-u）+x′/（v+u））]，即动系时间t2从动系k衡量其空间坐标为0，0，0，时间为静系时间 t+x′/（v-u）+x′/（v+u），算法参照第二部分最后验证是否同时的公式1，类似ta′；
t1为t（x′，0，0， t+x′/（v+u）），即动系时间t1从动系k衡量其空间坐标为x′，0，0，时间为静系时间 t+x′/（v+u），算法参照第二部分最后验证是否同时的公式1，类似tb。]
将公式3对x′求导，得公式4：
1/2[1/(v-u)+1/(v+u)]·?t/?t=?t/?x′+1/(v-u)·?t/?t，即?t/?x′+u/（v2-u2）·?t/?t=0。
[注：t（0，0，0，t）对x′求导为0；
t[0，0，0，（ t+x′/（v-u）+x′/（v+u））]对x′求导（多元复合函数求导）为[1/(v-u)+1/(v+u)]·?t/?t；
t（x′，0，0， t+x′/（v+u））对x′求导（多元复合函数求导）为?t/?x′+1/(v-u)·?t/?t。]
推导到公式4这，爱因斯坦在论文中对选择坐标原点为光线出发点做了一句说明：“应当指出，我们可以不选坐标原点，而选任何别的点作为光线的出发点，因此刚才所得到的方程（注：公式4）对于x′、y、z的一切数值都该是有效的。”
由于质点x′在静系的yz轴以及动系的hz轴都没有运动，相对于这几个坐标轴为静止状态，所以?t/?y=0和?t/?z=0，爱因斯坦论文中对这两个关系给出的说明为：“做类似的考察用在h轴和z轴上并且注意到，从静系看来，光沿着这些轴传播的速度始终是√（v2-u2），这就得到：?t/?y=0，?t/?z=0。”
（注：考察h轴或y轴过程为：设从动系k系的原点在动系时间t0发射一道光线，沿着h轴射向质点y，在动系时间t1时从y那里反射回动系k坐标系的原点，而在动系时间t2时到达，则有下列公式：（t0+t2）/2=t1。
引入t为x′、y、z和t的函数的设定和光速不变原理，此处，从动系k考察t0t1t2空间坐标分别为（0，0，0）、（0，y，0）和（0，0，0）；
时间坐标由静系k具体考察t1如下，由静系k看来，光线沿动系h轴传播的轨迹为斜线，斜线方向光速为v，即爱因斯坦在论文中强调的从静系y轴考察此处光速为√（v2-u2），x轴或Ξ轴方向运动距离为v（t1-t0），h轴运动距离为y，则根据勾股定理斜线方向移动距离=[v（t1-t0）2+y2]的开方，根据斜线方向光速为v，则t1-t0=√[v（t1-t0）2+y2]/v，整理得t1-t0=y/√（v2-v2），则t1时刻时间坐标由静系考察为t+y/√（v2-v2）；
时间坐标由静系k具体考察t2如下，由静系k看来，光线沿动系h轴传播的轨迹为斜线，斜线方向光速为v，x轴或Ξ轴方向运动距离为v（t2-t1），h轴运动距离为y，则根据勾股定理斜线方向移动距离=√[v（t1-t0）2+y2]，根据斜线方向光速为v，则t2-t1=√[v（t2-t1）2+y2]/v，整理得t2-t1=y/√（v2-v2），结合上面的t1-t0=y/√（v2-v2），则t2时刻时间坐标由静系考察为t+y/√（v2-v2）+y/√（v2-v2），即t2=t+2y/√（v2-v2）；
将上面的空间坐标和时间坐标代入（t0+t2）/2=t1，可得：1/2{t（0，0，0，t）+t[0，0，0，t+2y/√（v2-v2）]}=t（0，y，0，t+y/√（v2-v2））
将上式对y求导可得：1/2[0+?t/?t·2/√（v2-v2）]=?t/?y+?t/?t·1/√（v2-v2），即?t/?t/√（v2-v2）=?t/?y+?t/?t/√（v2-v2），减去左右两边相同项则得?t/?y=0，同样过程可得?t/?z=0。）
求解偏微分方程公式?t/?x′+u/（v2-u2）·?t/?t=0，?t/?y=0和?t/?z=0，可得公式5：
t=a[t-ux′/（v2-u2）]
其中，a为未知函数ψ（u）。
（注：由公式4可知t是线性函数，设t=at+bx′，将其代入公式4：?t/?x′+u/（v2-u2）·?t/?t=0，求出b=-avx′/（v2-v2），将其代入t=at+bx′，可得t=a[t-ux′/（v2-u2）]，此处的a还不是公式5中的a，只是未知数代号习惯用法时偶然用了相同的代号而已，t=at+bx′完全可以写成t=ct+dx′，不影响结果。而且这里只是根据公式4求出的t，严格来说还没有加入?t/?y=0和?t/?z=0的步骤，因为他们导数为0，积分为0，所以t对x′，y，z三个变量的积分等于t=a[t-ux′/（v2-u2）]。
同时，在这一部分的讨论开始阶段，爱因斯坦就直接提出了空间坐标和时间坐标变换的方程为线性方程：“首先，这些方程显然应当都是线性的，因为我们认为空间和时间是具有均匀性的。”）
求出动系k的时间t公式5后，爱因斯坦接着以其为基础考察了动系的坐标值eηζ，具体过程如下，在时间t=0时向e增加的方向发射出去的一道光线，其方程为：e=vt= av[t-ux′/（v2-u2）]。
从静系k中量度，这道光线以速度v-v相对于动系k的原点运动着（注：根据光速不变，光线相对于静系k速度为v，动系k的原点相对于静系k速度为v，则从静系k考察光线相对于动系k的原点速度为v-v），因此得到：t=x′/（v-v），将其代入上面的公式可得公式6：ξ=ax′v2/（v2-u2）
用类似的方法，考察沿着另外两根轴走的光线，可知η=vt=av·[t-x′u/（v2-u2）]，其中 y/（√（v2-u2）=t）
（注：从静系y轴z轴考察光线沿着动系h轴z轴传播时速度为√（v2-u2）。）
x′=0
（注：光线沿着动系h轴z轴传播时从动系考察其坐标原点Ξ轴坐标值x′为0。）
将√（v2-u2）=t和x′=0代入上述公式，可得公式7：η=ayv/√（v2-u2）
同样考察过程可得公式8：ζ=azv/√（v2-u2）
代入x′=x-vt，可得下列关系式9：
t=ψ（u）β（t-xu/v2），
ξ=ψ（u）β（x-ut），
η=ψ（u）y，
ζ=ψ（u）z。
其中，β=1/√[1-（u/v）2]，ψ（u）为未知函数。
（注：直接代入x′=x-vt得出的关系式具体关系式9′为：
t=a·（t-xu/v2）/[ 1-（u/v）2]；
e=a·（x-ut）/[ 1-（u/v）2]；
η=a· 1/√[1-（u/v）2]·y；
ζ=a· 1/√[1-（u/v）2]·z。
将上述结果都除以因子 1/√[1-（u/v）2]便得出了上述的关系式9，而且简单说所谓的未知函数ψ（u）就是a· 1/√[1-（u/v）2]。）
得出关系式9后，爱因斯坦在论文中又大段讨论了未知函数ψ（u）如何确定，设计了t=t=0时，静系动系坐标原点重合的情况下，从原点发射光球面波的坐标方程为 x2+y2+z2=v2t2和ξ2+η2+ζ2=v2t2，由此做出了光速不变原理和狭义相对性原理对静系和动系坐标系同时成立的结论；
又引入了第三个坐标系k′，相对于动系k的Ξ轴平行移动，其坐标原点在Ξ轴以-v速度移动，t=0时，静系k动系k和第三坐标系k′原点重合，t=x=y=z=0时，k′的时间t′为0，通过两次运用变换方程得到下列关系式：
t′=ψ（-u）β（-u）（t+ξu/v2）=ψ（u）ψ（-u）t，
x′=ψ（-u）β（-u）（ξ+ut）=ψ（u）ψ（-u）x，
y′=ψ（-u）η=ψ（u）ψ（-u）y，
z′=ψ（-u）ζ=ψ（u）ψ（-u）z。
对上述关系式，爱因斯坦在论文中还做了文字说明：“由于x′，y′，z′同x，y，z之间的关系中不含有时间t，所以k同k′这两个坐标系是相对静止的，而且，从k到k′的变换显然也必定是恒等变换。因此：ψ（u）ψ（-u）=1。”
之后，加入了垂直于轴运动的杆由于对称的缘故，在静系中量得的长度显然必定只同运动的速度有关，而同运动的方向和指向无关的说法，最终讨论论证关系式i/ψ（u）=i/ψ（-u），由此，得出ψ（u）=1，关系式9则变为关系式10（即洛伦兹变化公式）：
t=β（t-xu/v2），
ξ=β（x-ut），
η=y，
ζ=z。
β=1/√[（1-u2/v2）]
其实，在不太专业或者学术上也不太严谨的笔者看来，由关系式9（甚至关系式9′）可以直接得出关系式10，因为论文中设定的静系k和动系k的关系直观的决定了η=y和ζ=z，只要将η=y或ζ=z代入关系式9（甚至关系式9′），就可以直接得到公式10的洛伦兹变换公式。
得到公式10，即狭义相对论提出之前就已由洛伦兹导出的关系式后，论文第三部分就正式结束了，这也是论文理论推导中最核心的部分，论文剩下的部分就是对公式10的应用，将它们代入不同的运动学和电动力学公式，便得出了狭义相对论性的相关方程。