爱因斯坦121热辐射傅里叶系数独立证明10.8
1910年8月29日《物理学年鉴》收到了爱因斯坦和路德维希·霍普夫（ludwig hopf，1884年-1939年）合著的论文《论一条几率计算定理及其在辐射理论中的应用》。
这篇论文证明了热辐射傅里叶级数各个系数是独立的，从而消除了人们把暗含黑体辐射紫外灾变的瑞利-金斯公式的失败归结为热辐射傅里叶级数各个系数独立的假设上，通过这篇论文爱因斯坦和霍普夫说明瑞利-金斯公式的失败不能归结为热辐射傅里叶级数各个系数独立的假设，事实上热辐射傅里叶级数各个系数事实上就是独立的。
当然，瑞利-金斯公式失败的根源是能量均分定理，其认为每个振动自由度的平均能量为kt，这隐含的是能量的连续性，普朗克辐射公式暗含的则是能量的量子化，具体的分析可参见爱因斯坦的论文：
1906年3月13日的论文《关于光产生和光吸收的理论》（本作《爱因斯坦56-60》）；
1906年11月9日的论文《普朗克的辐射理论和比热容理论》（本作《爱因斯坦67-69》）；
1910年5月7日的论文《论光量子理论和电磁能的定域化问题》（本作《爱因斯坦117》）。
现在这篇论述热辐射傅里叶级数系数的论文《论一条几率计算定理及其在辐射理论中的应用》共分4节，第1节题为《作为出发点的物理问题》，这一节首先列出了针对某个给定空间点电磁力的傅里叶级数解析表达式方程1：
Σ（n）[an·sin2πn（t/t）+bn·cos2πn（t/t）]
其中，t是变化的时间，t是应用傅里叶级数那一段很长的时间阶段。
在辐射理论中计算任何平均值时人们假定个体的系数an和bn是相互独立的，每一个系数都符从高斯误差定律，而与其他系数的数值无关，因此，各an和bn值的一个组合的几率dw必然简单地就是各单个系数的几率之积，即为方程2：
da2…wb1·wb2…da1…db1…
对于几率dw，爱因斯坦和路德维希·霍普夫在论文中还给了一个定义：
“一个级数位于指定的数值范围之内的那些展式所占的分数，就是该系数之该范围的几率。”
面对辐射理论与实验和经验的矛盾，即瑞利-金斯公式紫外灾变和维恩公式红外灾变，很多人认为问题就出在傅里叶级数系数an和bn是相互独立的假设，本文的目的则是证明这种说法是错误的，系数an和bn事实上就是独立的，理论与实验的矛盾不在系数独立假设这里：
“在根据普遍被接受的电磁学及统计力学的基础所精确推出的形式下，众所周知，辐射理论导致了无法解决的和经验的抵触；既然如此，不相信这种简单的独立性假设而认为它造成了辐射理论的失败，就是很自然的了。
我们在下文中即将证明，这样的解决办法是不可能的，而且正好相反，物理问题可以归结为一个数学问题，而这个数学问题就引向统计定律（方程2）。”
接下来就进入了论文的正面阐述部分，首先，从某一方向射来的一种辐射肯定比作用在一点上的总辐射具有更高程度的有序性。
其次，某一方向的辐射还可以继续分解成更小的辐射元，而论文便是在这种更小辐射元的严格基础上证明系数an和bn事实上的独立性：
“但是，从一个特定方向射来的辐射永远可以设想为起源于许许多多的发射中心；也就是说，发射辐射的表面可以分成很多面积元，它们互相独立地发射。因为，既然从这一曲面到试验点的距离并没有限制，总的尺寸也就没有限制。
在这些由各面积元引起的辐射元中，我们再引入一个更高的有序原理，那就是，我们设想所有这些辐射元都具有相同的形式，其差别只在于它们的时间周相。或者，用数学名词来说，表示着由各面积元所引起的辐射的傅里叶级数的系数应该对一切面积元都相同，而只有初时刻才是随面积元而异的。
如果方程2可以在这种有序原理的基础上被证明，则它在这一原理被弃去的事例中更将成立。”
上述这段阐述的意思就是辐射元是有序、不独立的，但论文将证明在这种辐射元有序、不独立的前提下，系数an和bn事实上依然是独立性的。
在上述条件下设定，单个面积元s的辐射形式为方程3：
Σ（n）an·sin2πn·(t-ts)/t
所有面积元的总辐射形式为方程4：
Σ（s）Σ（n）[an·sin2πn·（t/t）·cos2πn·（ts/t）-cos2πn（t/t）·sin2πn·（ts/t）]
对比方程1和方程4，则热辐射傅里叶级数系数an和bn为方程5：
an=an·Σ（s）cos2πn·（ts/t）
bn=an·Σ（n）sin2πn·（ts/t）
就着方程5，爱因斯坦和路德维希·霍普夫再次阐述了论文的创作目的：
“式中n是一个很大的数，而ts可取从0到t之间的任意值，从而个体的被加式
cos2πn·（ts/t）和sin2πn·（ts/t）
就无规地分布在-1和+1之间，而且为正和为负的可能性相同。如果我们能够针对这种量的总和的一个组合证明我们方程(2)的普遍成立，我们也就从而证明了在辐射在真空中的传播中引入任何有序原理的不可能性。”
第2节题为《普遍数学问题的表述》，在这一节爱因斯坦和路德维希·霍普夫对问题再次进行了抽象处理，继第1节将热辐射傅里叶级数系数an和bn的独立性问题归结到 cos2πn·（ts/t）和sin2πn·（ts/t）
符合方程2的问题后，再次将 cos2πn·（ts/t）和sin2πn·（ts/t）抽象，将其抽象为函数|（a），并最终将系数an和bn的独立问题转化为函数|（a）的几率问题：
“于是我们就给自己提出了如下的数学问题：
我们有为数甚多的一些元，它们的数值(对应于ts)服从一条已知的统计定律。依据这些数值中的每一个数值，我们建立某些函数|1（a），|2（a）[对应于 sin2πn·（ts/t），cos2πn·（ts/t）]。
我们必须对这些函数加上另一条限制，就是说，由其中一个a介于a+da中的几率，可以得出有关|的一条统计定律；
设|具有介于|和|+d|之间的值的几率j(|)·d|永远是能使平均值
`|（平均）=∫|·j（|）·d|=0的函数。”
至于上述设定最后给出的几率j(|)·d|永远是能使平均值为0，其目的也是为后续的数学推导做准备，而能如此设定，论文中也进行了解释，根据给出系数an和bn的方程5，即正弦余弦函数x轴上下对称，y值正负抵消，这个关系是能够成立的：
“很容易看出我们的函数sin和cos确实符合这一假设。因为，如果0和t之间的每一个ts值都是等几率的，则平均值 sin2πn·（ts/t）（平均）和cos2πn·（ts/t）（平均）都为零。”
通过上述的阐述，论文将最初的热辐射傅里叶级数系数an和bn的独立性问题归结为z（很多）个a元集合成一个体系的和式组合的统计定律问题：
“现在我们把(很多的)z个这样的。元集合成一个体系。属于这个体系的有一些和式Σ
Σ（z）|1（a），Σ（z）|2（a）…
(对应于系数 an/an，bn/an)。
我们给自己提出的任务是求出这些和式的组合所服从的统计定律。”
之后，论文根据和式Σ所服从的统计定律不应该依赖于各元的数目z为由，给出了和式Σ组合所服从的统计定律准备考察的参数s的设定，其为方程6：
s=Σ/√z。
否定以和式Σ为统计定律考察对象的理由是以特例|（a）只能为-1和+1时，有如下关系：
和
Σ（z+1）=Σ（z）±1和Σ（z+1）2=Σ（z）2+1
由此，论文就给出了统计定律准备考察的参数s的设定：
“因此，和式的平方平均值正比于元数而递增。由此可见，如果我们愿意得到一条不依赖于z的统计定律，我们就必须不是考虑Σ，而是考虑另一些量。既然Σ2/z保持不变，我们就可以考虑
s=Σ/√z。”
至此，终于算完成了统计定律考察参数的设定。
第3节题为《各个s的统计定律》，在这一节首先考察单独一个s的几率定律，论文将s组成的簇定义为n体系，由于元a的统计分布，n也服从特定的统计定律，使其数值介于s和s+ds之间的体系数为dn=f（s）·ds。
因为统计定律不依赖于各元的数目z的设定，当sz过渡到sz+1时，dn必须不变，因此，进入给定域ds的体系数，必须和离开该域的体系数相同，
则z到z+1的过渡中，在数值和方向上同样经过一个给定的数值s0的体系数Φ满足divΦ=0（注：div散度算符，对空间求导）或dΦ/ds=0，同时，因为对于s=∞事实上Φ应有永远为0，则Φ=0。
s（z+1）以方程7表示：
s（z+1）=Σ（z+1）|（a）/√（z+1）=s（z）√[z/（z+1）]+|（a）/√（z+1）
（注：根据方程6 s=Σ/√z，则s（z）·√z=Σ（z），则方程7右边第一项为Σ（z）/√（z+1）；再加上右边第二项由z到z+1的过渡项，则右边便是Σ（z+1）/√（z+1），由此，便得出了上述方程7。）
因为各元的数目z很大，则方程7开方级数展开便变为方程8：
s（z+1）=s（z）-s（z）/2z+|（a）/√z
[注：z/（z+1）可写成（z+1-1）/（z+1）=1+（-1）/（z+1），将（-1）/（z+1）当作x，按1+x的开方级数展开，并按z很大的设定，即可以将z+1约等于z带入展开式，便得到了方程8。]
通过方程8可以看出，z到z+1的过渡中，在数值和方向上同样经过一个给定的数值s0的体系数Φ分为两部分：
Φ1为-s/2z，意即所有曾经和s0有一个正距离≤s0/2z的那些s，其为方程9：
Φ1=-s0·f（s0）/2z
Φ2为|（a）/√z，意即来自离s0的每一个任意的正距离和负距离Δ，这一部分和布朗运动中的均方位移类似，距离Δ处的数dn为方程10：
f（s0+Δ）ds=f（s0+Δ）dΔ
整篇论文最复杂和晦涩的地方就是讨论、计算方程10。
首先，只有小的Δ才是重要的，则方程10变为方程11：
{f（s0）+Δ·df/dΔ}dΔ
在这一数目中，所有来自一个负Δ处的沿正方向通过s0的那些数值都有一个很大的|（a），满足方程12：
|（a）/√z≧|Δ|
其数目为方程13：
∫j（|）d|（积分上下限：+∞，-Δ√z）
同理，沿负方向进行的数目为方程14：
∫j（|）d|（积分上下限：-Δ√z，-∞）
将方程13和方程14带入方程11可得Φ2为方程15：
Φ2=∫dΔ{f（s0）+Δ·（df/dΔ）s0}∫j（|）d|（积分限：+∞，-Δ√z）-∫dΔ{f（s0）+Δ·（df/dΔ）s0}∫j（|）d|（积分限：-Δ√z，-∞）
方程15分部积分为方程16：
Φ2=-∫dΔ{Δ·f（s0）+Δ2/2·（df/dΔ）s0}（积分限：0，-∞）j（-Δ√z）·√z-∫dΔ{Δ·f（s0）+Δ2/2·（df/dΔ）s0}（积分限：0，∞）j（-Δ√z）·√z
由于第1节已做的设定：
`|（平均）=∫|·j（|）·d|=0
以及Δ√z=|，则方程16变为方程17：
Φ2=-1/2z·（df/dΔ）s0·∫|2·j（|）·d|=-1/2z·（df/dΔ）s0·`|2
将Φ1数值方程9和Φ2数值方程17带入前面论证的体系数Φ=0，可得微分方程18：
sf+`|2（df/ds）=0
其解为方程19，即为高斯误差定律：
f=常量·e[-s2/2`|2]
第3节就此结束，这一节也是论文最复杂、晦涩的部分。
第4节题为《所有s（n）的组合的统计定律》，在这一节把第3节考察单独一个s的几率定律推广到了任意多维：
量s变为s（n），
定域ds变为ds（1）ds（2）…，
体系数变为dn=f（s（1），s（2）…）·ds（1）ds（2）…，
divΦ=0或dΦ/ds=0变为divΦ=0或Σ（n）?Φ（n）/?s（n）=0，
方程18变为方程19：
Φ（n）=s（n）f+`|n2·?f/?s（n）
设`|n2都相等，这意味着|n各个被乘上适当的常数，而对正弦和余弦函数则是自动满足这一简化处理的，如此，由方程19可得微分方程20：
Σ（n）?[s（n）f+`|n2·?f/?s（n）]/?s（n）=0
剩下的工作就是对方程20的求解，依然是比较复杂、晦涩的数学和物理讨论，首先，考虑遍及全部空间的积分，方程21：
∫1/f·Σ（n）[s（n）f+`|n2·?f/?s（n）]2·ds（1）…ds（n1）=∫Σ（n）[s（n）f+`|n2·?f/?s（n）]·[s（n）+`|n2·?logf/?s（n）]ds（1）…ds（n1）
方程21等号后第二项s（n）部分为方程21a：
∫Σ（n）{[s（n）f+`|n2·?f/?s（n）]·s（n）}ds（1）…ds（n1）=∫[f·Σ（n）s（n）2+`|n2·Σ（n）s（n）·?f/?s（n）]ds（1）…ds（n1）
对方程21a第二项进行分部积分，并考虑到无限远处f=0，方程21a变为方程21a1：
=∫f[Σ（n）s（n）2-|n2·n1]ds（1）…ds（n1）
而方程21a1第一项积分∫f·s（n）2·ds（1）…ds（n1）为平均值`s（n）2，根据第3节的方程19，`s2=`|2，由此，则方程21a1积分为0，即方程21a积分也为0；
方程21等号后剩余部分为方程21b：
∫Σ{[s（n）f+`|2·?f/?s（n）]·`|2·?logf/?s（n）}ds（1）…ds（n1）=∫`|2·logf·Σ{?[s（n）f+`|2·?f/?s（n）]/?s（n）}ds（1）…ds（n1）
根据方程20可知，方程21b积分为0；
因此，根据方程21a和方程21b积分都为0，则方程21积分也为0，由此，根据方程21的被积分式是二次方，积分为零必须是被积分式到处为零的原理得出方程19的Φ（n）为0，即：
s（n）f+`|2·?f/?s（n）=0
其解为方程22：
f=常量·e[-s（1）2/（2`|2）]·e[-s（2）2/（2`|2）]
如此便得出了论文最初设定的证明目的：
“于是我们就得到了关于f的统计定律，这和对每一个s（n）而言的高斯误差定律相同
…
于是，各s（n）值的一个组合的几率，简单地就是各s（n）的几率的乘积（注：符号方程2）。”
而论文最开始的针对某个给定空间点电磁力的傅里叶级数解析表达式方程1热辐射傅里叶级数系数an和bn与最终推导的s（n）的关系为：
s（n）= an/an，bn/an
an是一个数学常数，不改变几率关系，由此，则证明了论文开始提出的研究目的：热辐射傅里叶级数各个系数事实上就是独立的，满足方程2，即各an和bn值的一个组合的几率dw必然简单地就是各单个系数的几率之积，论文中最后结论的意思与此一致，但比较学术：
“这样也就证明了方程(2)的有效，以及在描述热辐射的傅里叶级数的各个系数之间建立一种几率论关系式的不可能性。”
这篇论述热辐射傅里叶级数系数独立性的论文《论一条几率计算定理及其在辐射理论中的应用》由爱因斯坦和路德维希·霍普夫（ludwig hopf，1884年-1939年）合著，《物理学年鉴》1910年8月29日收到，最终于12月20日发表。