爱因斯坦124乳光天蓝4-6论文10.10
第四节题为《光在一种不均匀性无限微小的、无吸收的媒质中的偏转的计算》，这一节依据麦克斯韦方程结合第三节最终导出的方程7，计算了光的强度与媒质密度的关系，按论文中的话说是研究媒质对通过它的光线的影响：
“现在既已由玻尔兹曼原理得到了均匀物质的密度或混合物的混合比将随位置而变的统计定律（注：方程7），我们将进而研究媒质对通过它而传播着的一条光线的影响。”
首先，描述媒质每一点的麦克斯韦方程8：
e/c·?e/?t=curl h，
1/c·?h/?t=-curl e，
div h=0，
div（ee）=0。
其中，e是媒质表观介电常数； e是电场强度； h是磁场强度；c是真空光速；curl是散度算符，对空间求导，意为通量的体密度；div是旋度算符，环线积分，意为环量的面密度。
方程8消去 h即为方程8a：
e/c2·?2e/?t2=Δ·e-gard div e，
div（ee）=0。
其中，Δ是媒质密度起伏；gard是梯度算符，梯度的大小代表变化的快慢。
媒质表观介电常数e和媒质平均表观介电常数e0（论文正文称其为常值介电系数，公式中没标注名称）关系为方程8a1：
e=e0+（?e/?p）0·Δ=e0+i
实际的场（总场） e和激发光波的场 e0的关系为方程8a2：
e=e0+e
其中， e即为乳光场，意即媒质密度起伏引起的光波电场强度的起伏。
将方程8a1和方程8a2代入方程8a即得方程8b：
方程8b1：
e0/c2·（?2e/?t2）-Δe=-1/c2·i（?2e0/?t2）-gard div e
方程8b2：
div（ie0）+div（e0·e）=0
方程8b2展开，并考虑到 div e0=0和gard e0=0，即得方程8b2a：
div e=-1/e0·e0·gardi
将方程8b2a代入方程8b1即得方程8c：
e0/c2·（?2e/?t2）-Δe=-1/c2·i（?2e0/?t2）+1/e0·gard{e0·gardi}=a
方程8c右端为已知矢量 a，由方程8c可知乳光场 e与矢量 a的关系，其形式与矢势、电流之间的关系相同，其解为方程8c1：
e=1/4π·∫[{a}（t0-r/v）/r]·dt
其中，r是dt到测试点的距离； v=c/√e0是光波在媒质中的传播速度；体积分遍及激发光场 e0异于0的全部空间。
如果方程8c1的积分只包括体积的一部分，则得到的就是激发光波通过这一部分体积时所引起的那一部分乳光场，第四节剩下的部分就是求解这种部分乳光场，部分乳光场研究的流体包含在其棱长 l小于第三节不等式5中的棱长l，其立方体由不等式5b确定：
0
0
0
平面激发光波电场 e0由方程9决定：
e0=h·cos2πn（t-ΠΥ/v）
其中，Π为单位波线矢量(分量为a，β，γ）；Υ为从坐标原点画起的矢径(分量为 x，y，z）。
设入射点在x轴的d处，d与棱长 l相比为无限大，则对此入射点来说，方程8c1变为方程方程8c1b：
e=1/4πd·∫[{a}（t1+x/v）]·dt
其中，t1为t0-d/v；方程8c1中的r和方程8c1b中的d相差无限小，因此进行了替换。
将方程8c中的矢量 a代入方程8c1b可得方程8c1c（论文中对这步转换进行了复杂的数学和物理论证）：
ex=0，
ey=-1/4πdc2·∫i（?2e0y/?t2）＊·dt，
ez=-1/4πdc2·∫i（?2e0z/?t2）＊·dt。
其中，＊为函数标量的意思。
根据方程9可得平面激发光波电场 e0的y方向分量标量为方程9a：
（?2e0y/?t2）＊=-hy·（2πn）2·cos2πn[t1+x/v-（ax+βy+γz）/v]
将方程9a带入方程8c1c的第二个方程，可得方程8c1c2：
ey=[hy·（2πn）2]/（4πdc2）·?e/?p·Σ（p）Σ（s）Σ（t）·b（pst）∫∫∫cos2πn{[t1+（1-a）x-βy-γz）]/v}·cos（2πp·x/2l）·cos（2πs·y/2l）·cos（2πt·z/2l）·dxdydz
积分遍及乳光场棱长为 l的立方体。
方程8c1c2中的积分记为 j（pst），具体为方程8c1c2a：
j（pst）=（1/2）3·l3·[sin（l-l′）·（l/2）]/[（l-l′）·l]/2·[sin（m-m′）·（l/2）]/[（m-m′）·l]/2·[sin（v-v′）·（l/2）]/[（v-v′）·l]/2·cos{2πnt1+[（l-l′）·l]/2+[（m-m′）·l]/2+[（v-v′）·l]/2}
方程8c1c2a中的参数如关系式8d所示：
l=2πn[（1-a）/v]，l′=πp/l；
m=-2πn（β/v），m′=πs/l；
v=-2πn（v/v），v′=πt/l。
由此，方程8c1c2可表示为方程10：
ey=a·Σ（p）Σ（s）Σ（t）·b（pst）·j（pst）
方程10中参数a如下所示：
a=[hy·（2πn）2]/（4πdc2）-?e/?p
方程10给出了时刻t0=t1+d/v，空间位置x=d、y=z=0点上的乳光场的即时值。
接下来要继续求解乳光场y方向的平均强度，其为方程11：
`ey2=a2·ΣΣΣΣΣΣ·b（pst）b（p′s′t′）·j（pst）j（p′s′t′）
由第三节的证明可知参量b相互独立的满足高斯误差定律，所以，当不是p=p′，s=s′和t=t′的情况时， b（pst）b（p′s′t′）=0，由此，p=p′，s=s′和t=t′，意即b（pst）=b（p′s′t′）和j（pst）=j（p′s′t′），方程11可简化为方程11a：
`ey2=a2·ΣΣΣb（pst）2·j（pst）2
乳光场平均强度对时间求平均只涉及 j（pst）的方程8c1c2a，由此，方程11a可转化为方程11b：
`ey2=?·a2·（l/2）6·ΣΣΣb（pst）2·sin2ξ/ξ2·sin2η/η2·sin2ζ/ζ2。
方程11b新设简化参数如下关系式11c所示：
ξ=[（l-l′）·l]/2，
η=[（m-m′）·l]/2，
ζ=[（v-v′）·l]/2。
经过如下讨论：
“再者，根据方程7， b（pst）2是不依赖于pst的，因此可以提到连加号前面去。
此外，按照关系式11c和关系式8d，属于相邻p值的ξ彼此相差一个πl/2l，亦即相差一个无限小的量。因此，式中的三重和式就可以改写成三重积分。既然如上所述三重和式中两个相邻ξ值之间的间隔Δξ是由关系式
Δξ·2l/πl=1
来描述的，我们就有
ΣΣΣsin2ξ/ξ2·sin2η/η2·sin2ζ/ζ2=（2l/πl）3·ΣΣΣsin2ξ/ξ2·sin2η/η2·sin2ζ/ζ2·Δξ·Δη·Δζ，
式中的最后一个和式可以直接写成一个三重积分。我们可以由关系式11c和关系式8d得出结论说，为了一切的实际目的，这个积分可在积分限-∞必和+∞之间计算，于是它就分解成三个积分的乘积，其中每一个积分的值都是π。”
如上考虑下，借助方程7，并将a的表示式方程6d代入方程11b，便得乳光场y方向的平均强度为方程方程11c：
ey2=rt0/n·（?e/?p）2/[u2·（?2ψ/?u2）]·（2πn/c）4·l3/（4πd）2·hy2/2。
（注：论文中此处开始用u代之比容，与前面的比容代号 v不一致。）
以比容 v比容v=1/p来表示，并将改写成激发光的波长l，则为方程11d：
ey2=rt0/n·u（?e/?p）2/（?2ψ/?u2）·（2π/l）4·Φ/（4πd）2·hy2/2。
其中，Φ代表光经过产生的乳光的体积。
同理，可得乳光场z方向的平均强度，而乳光场x方向的平均强度为0，从方程8c1c那x方向的乳光场就为0了，论文中在方程8c1c对此进行了复杂的数学和物理论证，当然，简单的物理解释也可以达到此论证，即光的横波本性必然意味着乳光场x方向的分量 ex为0。
由此可知，电矢量在垂直于乳光射线的平面上的投影决定了沿一个给定方向发射的乳光的强度及偏振，而与激发光是沿着什么方向传播无关。
论文分析的媒质密度起伏引起的乳光现象与由远小于光之波长的悬浮粒子所引起的乳光具有同样的性质，因为两种事例都涉及受照射物质的均匀性的不规则扰乱，而扰乱的位置又是迅速变化的。
根据方程11d，乳光强度j0和激发光强度je的关系为方程11d1：
j0/je=rt0/n·u（?e/?p）2/（?2ψ/?u2）·（2π/l）4·Φ/（4πd）2·cos2j。
其中，je是激发光的强度；j0是沿一特定方向离开激发位置的距离为d处的乳光强度；j是激发光的电矢量和垂直于所考虑乳光的平面之间的夹角。
根据方程11d1还可以精确的确定分子绝对的大小n，即阿伏伽德罗常数。
根据方程11d，通过对所有方向求乳光的积分来计算由于乳光现象而出现的表观吸收为方程11d2：
a=1/6π·rt0/n·u（?e/?p）2/（?2ψ/?u2）·（2π/l）4
其中，a吸收常量，而强度衰减因子为e-aδ；δ是光所经过的物质层的厚度。
第五节题为《均匀物质》，这一节对上一节导出的方程11d1进行了两种具体场景应用。
一为，对均匀物质来说：
比容表示的元功ψ函数与比容u和压强p的关系为（方程6e处）方程12：
ψ=-∫p·du
（注：论文从方程11c处开始用u代之比容，与前面方程6e处最早提出的比容代号 v不一致。）
有方程12微分可得方程12a：
?2ψ/?u2=-?p/?u
其中，?p/?u为等温导数，因为在所有属于给定密度分布的状态中，具有常值温度的状态就是熵最大的状态，从而也在给定的能量下具有最大的统计几率。
根据克劳修斯-莫索缔(mosotti)-洛伦兹关系式，表观介电常数e和比容u的关系为方程12b：
（e-1）/（e+2）·u=常量
由方程12b得方程12b1：
（?e/?u）2=（e-1）2·（e+2）2/9u2
将方程12a和方程12b1代入上一节得方程11d1，即得方程12c：
j0/je=rt0/n·[（e-1）2·（e+2）2]/[9u（-?p/?u）]·（2π/l）4·Φ/（4πd）2·cos2j
方程12c便给出了在离激发光所经体积Φ的距离为d处测量的激发光强度je和乳光强度j0的比值。
二为，对理想气体来说，表观介电常数e+2=3，则方程12c变为方程12c1：
j0/je=rt0/n·（e-1）2/p·（2π/l）4·Φ/（4πd）2·cos2j
方程12c1解释了被光照射的大气为何主要发出的是蓝光，论文的分析证明解释天空为蓝不需要用到物质分立分布的假设，即无需假定物质以分立的聚集状态存在。另一方面，通过对完全无规分布的各个气体分子的辐射求和也可以得到方程12c1。
第五节题为《混合液体》，这一节依然是对第四节导出的方程11d1的应用扩展，其针对的对象为混合液体的乳光现象。
设混合物第一种成分和第二种成分的单位质量分别为1和 k，则混合液总单位质量为1+ k；
混合物第一种成分和第二种成分的比容分别为u和u′′；
混合物气相中第二种成分的分压强为 p′′。
上述混合物被注入一个容器中，其器壁一部分为半透性的，第二种成分可以在气体形态下被加入和取出，而第一种成分不可以；
另有一个相对无限大的容器含有相对无限大的混合物，成分为 k0，容器依然有半透壁的气态空间容纳第二种成分，其分压强和比容分别为 p0′′和u0′′。
两个容器的温度都为t0，把质量为 dk的第二种成分在气体形态下以一种可逆的方式从第二容器送入第一容器中，这样来使第一容器中的浓度量度 k增大一个 dk，则此场景下所必须做的功 dψ三个部分（忽略液体容积）：
-dk/m′′·p0′′·u0′′（从第二容中取出物质时的功）；
dk/m′′·rt0·lg（p′′/p0′′）（等温压缩到第一容器中的分压强）；
+dk/m′′·p′′·u′′（放入第一容器时的功）。
其中，m′′是气相中第二种成分的相对分子质量。
按照莫索缔(mosotti)定律，第一项和第三项互相抵消，则功 dψ为方程13：
dψ=rt0/m′′·dk·lg（p′′/p0′′）
方程13结合如下关系式：
lg（p′′/p0′′）=lg[1+（p′′-p0′′）/p0′′]=lg（1+π）=π-π2/2…
（其中，π为第二种成分对原始状态而言的相对压强改变量。）
可得方程14：
?ψ/?u=rt0/m′′·（π-π2/2…）/（?u/?k）
方程14对第一种成分的比容u微分，并令π=0，即得方程14a：
（?2ψ/?u2）0=rt0/m′′·（?π/?k）/（?u/?k）2=rt0/m′′·（1/p′′·?p′′/?k）/（?u/?k）2
参照方程14a，即可将第四节的方程11d1改写为方程15：
j0/je=m′′/n·u（?e/?k）2/[?（lgp′′）/?k]·（2π/l）4·Φ/（4πd）2·cos2j。
方程15只包含可以在实验上测量的量，其能完全确定二元混合液体的乳光性质，直至紧靠临界点的一个小域为止，其确定的范围中各成分的蒸气可以看成理想气体。
论文《关于均匀流体及混合液体在临界状态附近的乳光现象的理论》以对实验验证的期盼而结束，并点明论文根据玻尔兹曼熵s概率公式而导出的乳光理论可以计算阿伏伽德罗常数n：
“此处所考虑的现象的一种定量的实验研究将是很有兴趣的：
一方面，知道玻尔兹曼原理是否确实给出此处所考虑的现象的正确解释，这将是很有价值的；
另一方面，这样的研究将能引向数n的精确值。”
《物理学年鉴》1910年10月8日收到爱因斯坦的这篇乳光天蓝论文《关于均匀流体及混合液体在临界状态附近的乳光现象的理论》，最终于12月20日发表。